绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式:样本数据 , , , 的标准差 其中 为样本平均数柱体体积公式 其中 为底面积， 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1. 的最小正周期为 ，其中 ，则 = ▲ ．本小题考查三角函数的周期公式. 102．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故 3. 表示为 ，则 = ▲ ．本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴ ＝0， ＝1，因此 14.A= ，则A Z 的元素的个数 ▲ ．本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由 得 ,∵Δ＜0，∴集合A 为 ，因此A Z 的元素不存在．05. ， 的夹角为 ， ， 则 ▲ ．本小题考查向量的线性运算． = ， 776.在平面直角坐标系 中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ．本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此． 7.算法与统计的题目8.直线 是曲线 的一条切线，则实数b＝ ▲ ．本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令 得 ，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．ln2－19在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程： ，请你求OF的方程： （ ▲ ） .本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填 ．事实上，由截距式可得直线AB： ，直线CP： ，两式相减得 ，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程． 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即 个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第 ＋3个，即为 ． 11.已知 ， ，则 的最小值 ▲ ．本小题考查二元基本不等式的运用．由 得 ，代入 得 ，当且仅当 ＝3 时取“＝”．312.在平面直角坐标系中，椭圆 1( 0)的焦距为2，以O为圆心， 为半径的圆，过点 作圆的两切线互相垂直，则离心率 = ▲ ． ? ?设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故 ，解得 ． 13．若AB=2, AC= BC ，则 的最大值 ▲ ． ?本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝ ，则AC＝ ，根据面积公式得 = ，根据余弦定理得 ，代入上式得 = 由三角形三边关系有 解得 ，故当 时取得 最大值 14. 对于 总有 ≥0 成立，则 = ▲ ．本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论 取何值， ≥0显然成立；当x＞0 即 时， ≥0可化为， 设 ，则 ， 所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，因此 ，从而 ≥4；当x＜0 即 时， ≥0可化为 ， 在区间 上单调递增，因此 ，从而 ≤4，综上 ＝44二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系 中，以 轴为始边做两个锐角 , ，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为 ．（Ⅰ）求tan( )的值；（Ⅱ）求 的值．本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．由条件的 ，因为 , 为锐角，所以 = 因此 （Ⅰ）tan( )= （Ⅱ） ，所以 ∵ 为锐角，∴ ，∴ = 16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD⊥BD，且E ,F分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ‖面ACD ；（Ⅱ）面EFC⊥面BCD ．本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF‖AD，∵EF 面ACD ，AD 面ACD ，∴直线EF‖面ACD ．（Ⅱ）∵ AD⊥BD ，EF‖AD，∴ EF⊥BD.∵CB=CD, F 是BD的中点，∴CF⊥BD.又EF CF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD 面BCD，∴面EFC⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为 km．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO= (rad)，将 表示成 的函数关系式；②设OP (km) ，将 表示成x 的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．本小题主要考查函数最值的应用．（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，则 , 故 ，又OP＝ 10－10ta ，所以 ， 所求函数关系式为 ②若OP= (km) ，则OQ＝10－ ，所以OA =OB= 所求函数关系式为 （Ⅱ）选择函数模型①， 令 0 得sin ，因为 ，所以 = ，当 时， ， 是 的减函数；当 时， ， 是 的增函数，所以当 = 时， 。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边 km处。18．设平面直角坐标系 中，设二次函数 的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论．本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．（Ⅰ）令 ＝0，得抛物线与 轴交点是（0，b）；令 ，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．（Ⅱ）设所求圆的一般方程为 令 ＝0 得 这与 ＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝ ．令 ＝0 得 ＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝�Db�D1．所以圆C 的方程为 .（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边＝0 ＋1 ＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－2，1）．19.（Ⅰ）设 是各项均不为零的等差数列（ ），且公差 ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当n =4时，求 的数值；②求 的所有可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列 ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．（Ⅰ）①当n＝4 时， 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0．若删去 ，则有 即 化简得 ＝0，因为 ≠0，所以 =4 ；若删去 ，则有 ，即 ，故得 =1．综上 =1或－4．②当n＝5 时， 中同样不可能删去首项或末项．若删去 ，则有 ＝ ，即 ．故得 =6 ；若删去 ，则 ＝ ，即 ．化简得3 ＝0，因为d≠0，所以也不能删去 ；若删去 ，则有 ＝ ，即 ．故得 = 2 ．当n≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列 ， ， ，…， ， ， 中，由于不能删去首项或末项，若删去 ，则必有 ＝ ，这与d≠0 矛盾；同样若删去 也有 ＝ ，这与d≠0 矛盾；若删去 ，…， 中任意一个，则必有 ＝ ，这与d≠0 矛盾．综上所述，n∈．（Ⅱ）略20.若 ， ， 为常数，且 （Ⅰ）求 对所有实数成立的充要条件（用 表示）；（Ⅱ）设 为两实数， 且 ,若 求证： 在区间 上的单调增区间的长度和为 （闭区间 的长度定义为 ）．本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用．（Ⅰ） 恒成立 （*）因为 所以，故只需 （*）恒成立综上所述， 对所有实数成立的充要条件是： （Ⅱ）1°如果 ，则的图象关于直线 对称．因为 ，所以区间 关于直线 对称．因为减区间为 ，增区间为 ，所以单调增区间的长度和为 2°如果 .（1）当 时. ， 当 ， 因为 ，所以 ，故 = 当 ， 因为 ，所以 故 = 因为 ，所以 ，所以 即 当 时，令 ，则 ，所以 ，当 时， ，所以 = 时， ，所以 = 在区间 上的单调增区间的长度和 = （2）当 时. ， 当 ， 因为 ，所以 ，故 = 当 ， 因为 ，所以 故 = 因为 ，所以 ，所以 当 时，令 ，则 ，所以 ，当 时， ，所以 = 时， ，所以 = 在区间 上的单调增区间的长度和 = 综上得 在区间 上的单调增区间的长度和为
